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Ejercicios Resueltos de Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es una herramienta fundamental en probabilidad y estadística para modelizar el número de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo o espacio fijo, cuando estos eventos son independientes y ocurren con una tasa promedio constante.

Solución:

Ajuste del intervalo: 4 correos/hora → en 0.5 horas: ( \lambda = 4 \times 0.5 = 2 ).

Buscamos ( P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) ) con ( \lambda = 2 ).

Del ejercicio anterior (con ( \lambda = 2 )): [ P(X \leq 2) = 0.676675 ] [ P(X > 2) = 1 - 0.676675 = 0.323325 ]

Resultado: ( P(X > 2) \approx 0.3233 ) (32.33%).

Caso 3: El Soporte Técnico y la Paciencia 💻

(Concepto: Probabilidad acumulada: "Menos que" o "Más que")

El Problema: Un departamento de soporte técnico recibe un promedio de 5 correos electrónicos por hora. El encargado se va a almorzar y quiere saber si podrá leerlos todos en la primera hora de su regreso. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba menos de 3 correos en esa hora?

Nota: "Menos de 3" significa 0, 1 o 2.

Resolución Paso a Paso:

  1. Identifico mis datos:

    • $\lambda = 5$.
    • Necesito calcular: $P(x < 3) = P(0) + P(1) + P(2)$.

  2. Calculo cada probabilidad por separado:

    • Para $x=0$: $$P(0; 5) = e^-5 \approx 0.0067$$

    • Para $x=1$: $$P(1; 5) = \frace^-5 \cdot 5^11! = 0.0067 \cdot 5 = 0.0337$$

    • Para $x=2$: $$P(2; 5) = \frace^-5 \cdot 5^22! = \frac0.0067 \cdot 252 = 0.0842$$

  3. Sumo los resultados: $$P(x < 3) = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 = 0.1246$$ ejercicios resueltos de distribucion de poisson

Conclusión: Hay solo un 12.46% de probabilidad de que la bandeja de entrada tenga menos de 3 mensajes. Lo más probable es que el promedio de 5 se cumpla y tenga bastante trabajo.

🕵️‍♂️ 1. El Escenario: ¿Cuándo usamos a "Monsieur Poisson"?

Imagina que eres el gerente de una tienda de conveniencia o un centro de llamadas. No puedes predecir exactamente a qué hora entrará el próximo cliente, pero sabes que, en promedio, entran 10 por hora.

La Distribución de Poisson se usa cuando:

  1. Sabes el promedio de ocurrencias ($\lambda$) en un intervalo de tiempo/espacio.
  2. Los eventos son independientes (que pase uno no afecta al siguiente).
  3. Los eventos son raros o aleatorios dentro de ese intervalo.

Apartado a) ( P(X = 5) )

[ P(X = 5) = \frace^-3 \cdot 3^55! ] [ 3^5 = 243,\quad 5! = 120,\quad e^-3 \approx 0.049787 ] [ P(X = 5) = \frac0.049787 \times 243120 = \frac12.098120 \approx 0.1008 ]

Resultado: ( P(X = 5) \approx 0.1008 ) (10.08%).

Ejercicio 9: Dos intervalos independientes (Propiedad aditiva)

Enunciado: En una carretera, pasan en promedio 8 camiones cada hora en el día y 3 camiones cada hora en la noche. Si observamos de 2 PM a 4 PM (2 horas de día) y luego de 10 PM a 12 AM (2 horas de noche), ¿cuál es la probabilidad de ver exactamente 20 camiones en total?

Solución: La suma de Poisson independientes es Poisson con λ = λ1 + λ2. Caso 3: El Soporte Técnico y la Paciencia

$$P(X=20) = \frace^-22 \cdot 22^2020!$$

Valor aproximado: 0.071 (7.1%)

Ejercicio 3: Accidentes en una carretera

Enunciado:
En una carretera ocurren un promedio de 2 accidentes por semana. Calcula la probabilidad de que en una semana:

a) No ocurra ningún accidente.
b) Ocurran al menos 3 accidentes.

Errores comunes al resolver ejercicios de Poisson

  1. No ajustar λ cuando cambia el intervalo: El error más frecuente. Si el promedio es por hora y te piden por minuto, divide λ entre 60.
  2. Usar Poisson cuando no hay independencia: Por ejemplo, número de alumnos que llegan tarde si hay una tormenta (eventos correlacionados).
  3. Olvidar que k es entero no negativo: No tiene sentido preguntar P(X=2.5).
  4. Confundir Poisson con Exponencial: Poisson cuenta eventos (discreto), Exponencial mide tiempos entre eventos (continuo).

🔹 Ejercicio 5

En una fábrica, el número de defectos por lote sigue Poisson con ( \lambda = 4 ).
¿Probabilidad de que un lote tenga entre 2 y 5 defectos (inclusive)?

Solución:
[ P(2 \le X \le 5) = P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) ]

[ P(2) = \frace^-4 \cdot 162 = 8 e^-4 \approx 0.1465 ] [ P(3) = \frace^-4 \cdot 646 \approx 0.1954 ] [ P(4) = \frace^-4 \cdot 25624 \approx 0.1954 ] [ P(5) = \frace^-4 \cdot 1024120 \approx 0.1563 ] Identifico mis datos:

Suma: ( 0.1465 + 0.1954 + 0.1954 + 0.1563 = 0.6936 )

✅ Respuesta: ( 69.36% )